Viaje POR el centro de la tierra

Hace una semana en clase mientras hablábamos de viajes al centro de la tierra, se mencionó algo sobre como sería caerse por un agujero hacia el centro de la tierra. Esta idea de un pozo "sin fondo" es bastante alocada pero no deja por ello de ser curiosa y aunque la curiosidad mató al gato, a mi siempre me ha gustado el riesgo. Sobre la hipótesis inicial habrá que ir realizando supuestos para ir idealizando el problema.

Para empezar, no se puede hacer un túnel tan profundo como se quiera. Las minas más profundas del mundo se encuentran en Sudáfrica y las condiciones a las que se enfrentan son extremadamente duras. Pero bueno, imaginemos que tenemos una taladradora mágica que trabaja en cualquier condición existente. Ahora necesitamos suponer que la ciencia ha creado un mágico material capaz de resistir y aislar al interior de nuestro túnel de las temperaturas estimadas del núcleo, que rondan los 5000ºC. El hoyo en cuestión a taladrar tendría unos 12.742 km en el caso de querer atravesar justo por el centro de la tierra.

Si nos cayésemos en semejante túnel, tan solo después de unos 5 o 6 segundos y tras 150 metros de caída, entraríamos en velocidad terminal (200km/h aprox), es decir, el rozamiento con el aire generaría una fuerza igual y de sentido contraria a la fuerza gravitatoria que nos atrae hacia el centro de nuestro planeta. Estos cálculos ya fueron hechos en el post de Batman. Dado que la fuerza gravitatoria se calcula de la siguiente manera F = G m M / R² podemos comprobar que conforme nos acercamos al centro de la tierra esa fuerza va disminuyendo. Esto iría provocando una desaceleración progresiva en la caída frenándonos poco a poco hasta que al llegar al centro de la tierra quedaríamos literalmente ingrávidos o sin ningún peso.

Añadamos otro supuesto al problema: no hay rozamiento. Imaginemos que fuera posible hacer el vacío en una estructura tan enorme, entonces también necesitariamos un vehículo en el que viajar. Su energía potencial gravitatoria en la superficie vendría determinada por E = G m M / R. Supongamos que la masa de la cápsula y sus tripulantes es de 1000kg. Su energía potencial sería de E = 6.3 · 10⁶ J. Si consideramos por tanto que en el centro de la tierra toda su energía se habrá convertido en cinética podemos saber que está viajando a una velocidad V = (2E/m)^1/2 = 11224 m/s despejando la fórmula de la energía cinética. Considerando entonces estos cálculos y dividiendo la velocidad entre la aceleración supuesta de a = 9.8 m/s2 podemos hallar que tardaría unos 19 minutos en alcanzar el centro. Y dado que no hay rozamiento, 38 en volver a subir a la superficie de la tierra, en las antípodas de su origen.

Como ya hemos dicho antes, el campo gravitatorio de la tierra varía en función de la distancia a la que nos encontramos de su centro, y por tanto a medio camino de la caída no estaríamos atraídos por una fuerza tan intensa. Se ha calculado aproximadamente que el tiempo empleado en atravesar la tierra de esta manera ronda los 42 minutos, no muy alejado del cálculo previo. Como hemos comprobado, el movimiento de caída se convierte en un movimiento de "subida" a partir de la mitad, y al volver a convertirse toda su energía cinética en potencial ascendería hasta la misma altura. Esto no es sino la descripción de un Movimiento Armónico Simple de periodo T=82 minutos (76 según nuestros cálculos).

Ahora bien, lo curioso de este experimento es que si en vez de atravesar la tierra por el centro, lo hacemos por otro punto, es decir trazamos el túnel como una cuerda en una circunferencia, el tiempo que tardaríamos en atravesarlo sería exactamente el mismo si las condiciones fueran ideales. Podemos ver las fuerzas en la imagen a continuación.


Donde la fuerza F_x es proporcional al desplazamiento de la cápsula, signo claro de que estamos ante un MAS de nuevo. Y análogamente calculando dicha fuerza como F_x = F*sin(β) y usándola en sustitución de la aceleración de la gravedad podríamos realizar los cálculos equivalentes con la nueva situación del problema. Sólo faltaría imaginarse un sistema de railes sin rozamiento (Maglev) ya que en este caso no sería suficiente con obviar el rozamiento del aire, al no tratarse de una simple caída.

Si pudiéramos disponer de la tecnología adecuada, ¿no sería fantástico tener un túnel que nos llevara a Nueva York, Tokio o Sidney en solo 40 minutos? Claro, que para ir de Oviedo a Gijón por otro túnel que tardara 42 minutos no se si merecería la pena.

A la parrilla sabe mejor

En la película Volcano (1997) la ciudad de Los Angeles se enfrenta con un volcán surgido en pleno centro de la ciudad que amenaza con arrasar con todo lo que se le ponga por delante. El planteamiento es bastante verosímil, una zona con actividad sísmica importante, situada cerca de una importante falla geológica y con cientos de túneles excavados por las vías de metro. Tras un pequeño terremoto los científicos advierten del grave peligro al haber aumentado la temperatura de un lago 6 grados (no precisan si son Kelvin o Fahrenheit). Por supuesto, los científicos son ignorados y solo tras haber destrozado la mitad de la ciudad les hacen caso y consiguen encauzar la lava hacia el mar.


En la película se suceden las escenas de gente cerca de la lava que resultan bastante cómicas. La superficie de la lava está entre 700ºC y 1200ºC cuando sale a la superficie. La radiación térmica es la que emiten todos los cuerpos por encima de 0K en forma de ondas electromagnéticas debido a su temperatura. Esta radiación es visible cuando la temperatura es muy alta y es la razón por la que algunas cuerpos despiden luz, por ejemplo un filamento incandescente.

La ley de Stefan-Boltzmann nos dice que que la potencia emisiva superficial (E) de un cuerpo negro se puede calcular de la siguiente manera.


De donde podemos calcular, tomando como T de la lava 1000K (726.85ºC), que E=56700. Ahora podemos usar la misma ecuación para calcular el calor absorbido por el cuerpo de las personas, aunque de él tendremos que restar el calor que desprende el cuerpo humano (irrisorio respecto a la lava) E = σ * 310 ⁴ = 523. Para el cálculo del flujo de calor e intercambio calorífico podemos usar las siguientes ecuaciones:


Hay que tener en cuenta el Factor de forma (F) que indica que fracción de la energía total transmitida es recibida por otra superficie, tomando un valor de F = 0,1 y tomando q_1-2 como la diferencia entre los valores antes calculados (56700 - 523 = 56177). Podemos comprobar que T⁴ = q_1-2 * F / σ con lo que T= 561K o lo que es lo mismo 288ºC es la temperatura a la que deberían estar varios personajes en la película. Ideal para un bronceado rápido.

Verde que te quiero verde

Hulk es uno de esos superhéroes entrañables del universo Marvel. También conocido como La Masa, fue creado en 1962 por Jack Kirby y Stan Lee, basándose en la dicotomía entre la gran inteligencia del Dr. Bruce Banner y la sencilla y emocional mente de Hulk. Habitualmente no comienza sus peleas, de una forma u otra es empujado por los acontecimientos a convertirse en un gigante verde con una fuerza descomunal que solo quiere que le dejen en paz.


Una de mis escenas favoritas de la película de 2003 es la de la pelea con los tanques en el desierto. En ella el primer tanque que se encuentra se convierte en improvisado martillo en un lanzamiento digno de unas olimpiadas. Vamos a calcular a que distancia lo lanza y la fuerza necesaria para ello. Las ecuaciones que rigen el movimiento parabólico son las siguientes:


En la película se comprueba que el tanque vuela unos 5 segundos, y es lanzado de forma bastante eficiente, supongamos que Hulk conserva parte de su intelecto de hombre de ciencia y sabe que el ángulo óptimo de lanzamiento es de 45º. Podemos calcular la velocidad inicial a partir de la ecuación de la velocidad V_y haciendo esta igual a 0, es decir, cuando esta en el punto más alto. Resultando que V₀ = g*t / senθ = 69.29 m/s. Con este dato podemos calcular que el tanque va a parar a unos 250 metros de nuestro amigo verde, lo cual parece creíble a juzgar por lo que vemos.


A ésta velocidad inicial, un tanque Abrams como el de la película que pesa unas 50 Toneladas saldría despedido con un momento lineal p = m * v = 3.46 · 10⁶ . Como parte de un momento lineal igual a 0, la fuerza necesaria para generar ese momento la podemos calcular mediante la ley del impulso de la siguiente manera F = Δp / Δt . Como tarda en echarlo a volar unos 3 segundos la fuerza necesaria seria superior a un millón de Newtons. Si se te ocurre decirle que este año no se lleva el verde te puede poner en órbita de un sopapo sin exagerar... o si?