Viaje POR el centro de la tierra

Hace una semana en clase mientras hablábamos de viajes al centro de la tierra, se mencionó algo sobre como sería caerse por un agujero hacia el centro de la tierra. Esta idea de un pozo "sin fondo" es bastante alocada pero no deja por ello de ser curiosa y aunque la curiosidad mató al gato, a mi siempre me ha gustado el riesgo. Sobre la hipótesis inicial habrá que ir realizando supuestos para ir idealizando el problema.

Para empezar, no se puede hacer un túnel tan profundo como se quiera. Las minas más profundas del mundo se encuentran en Sudáfrica y las condiciones a las que se enfrentan son extremadamente duras. Pero bueno, imaginemos que tenemos una taladradora mágica que trabaja en cualquier condición existente. Ahora necesitamos suponer que la ciencia ha creado un mágico material capaz de resistir y aislar al interior de nuestro túnel de las temperaturas estimadas del núcleo, que rondan los 5000ºC. El hoyo en cuestión a taladrar tendría unos 12.742 km en el caso de querer atravesar justo por el centro de la tierra.

Si nos cayésemos en semejante túnel, tan solo después de unos 5 o 6 segundos y tras 150 metros de caída, entraríamos en velocidad terminal (200km/h aprox), es decir, el rozamiento con el aire generaría una fuerza igual y de sentido contraria a la fuerza gravitatoria que nos atrae hacia el centro de nuestro planeta. Estos cálculos ya fueron hechos en el post de Batman. Dado que la fuerza gravitatoria se calcula de la siguiente manera F = G m M / R² podemos comprobar que conforme nos acercamos al centro de la tierra esa fuerza va disminuyendo. Esto iría provocando una desaceleración progresiva en la caída frenándonos poco a poco hasta que al llegar al centro de la tierra quedaríamos literalmente ingrávidos o sin ningún peso.

Añadamos otro supuesto al problema: no hay rozamiento. Imaginemos que fuera posible hacer el vacío en una estructura tan enorme, entonces también necesitariamos un vehículo en el que viajar. Su energía potencial gravitatoria en la superficie vendría determinada por E = G m M / R. Supongamos que la masa de la cápsula y sus tripulantes es de 1000kg. Su energía potencial sería de E = 6.3 · 10⁶ J. Si consideramos por tanto que en el centro de la tierra toda su energía se habrá convertido en cinética podemos saber que está viajando a una velocidad V = (2E/m)^1/2 = 11224 m/s despejando la fórmula de la energía cinética. Considerando entonces estos cálculos y dividiendo la velocidad entre la aceleración supuesta de a = 9.8 m/s2 podemos hallar que tardaría unos 19 minutos en alcanzar el centro. Y dado que no hay rozamiento, 38 en volver a subir a la superficie de la tierra, en las antípodas de su origen.

Como ya hemos dicho antes, el campo gravitatorio de la tierra varía en función de la distancia a la que nos encontramos de su centro, y por tanto a medio camino de la caída no estaríamos atraídos por una fuerza tan intensa. Se ha calculado aproximadamente que el tiempo empleado en atravesar la tierra de esta manera ronda los 42 minutos, no muy alejado del cálculo previo. Como hemos comprobado, el movimiento de caída se convierte en un movimiento de "subida" a partir de la mitad, y al volver a convertirse toda su energía cinética en potencial ascendería hasta la misma altura. Esto no es sino la descripción de un Movimiento Armónico Simple de periodo T=82 minutos (76 según nuestros cálculos).

Ahora bien, lo curioso de este experimento es que si en vez de atravesar la tierra por el centro, lo hacemos por otro punto, es decir trazamos el túnel como una cuerda en una circunferencia, el tiempo que tardaríamos en atravesarlo sería exactamente el mismo si las condiciones fueran ideales. Podemos ver las fuerzas en la imagen a continuación.


Donde la fuerza F_x es proporcional al desplazamiento de la cápsula, signo claro de que estamos ante un MAS de nuevo. Y análogamente calculando dicha fuerza como F_x = F*sin(β) y usándola en sustitución de la aceleración de la gravedad podríamos realizar los cálculos equivalentes con la nueva situación del problema. Sólo faltaría imaginarse un sistema de railes sin rozamiento (Maglev) ya que en este caso no sería suficiente con obviar el rozamiento del aire, al no tratarse de una simple caída.

Si pudiéramos disponer de la tecnología adecuada, ¿no sería fantástico tener un túnel que nos llevara a Nueva York, Tokio o Sidney en solo 40 minutos? Claro, que para ir de Oviedo a Gijón por otro túnel que tardara 42 minutos no se si merecería la pena.